Coordinate Systems
world space、camera space、clip space. etc
Coordinate Space
There are a total of 6 different coordinate systems that are of importance to us:
- Local space (or Object space)
- World space
- View space (or Eye space)
- Clip space
- Normalized device space
- Screen space
To transform the coordinates from one space to the next coordinate space we’ll use several transformation matrices of which the most important are the model, view and projection matrix. Our vertex coordinates first start in local space as local coordinates and are then further processed to world coordinates, view coordinates, clip coordinates, Normalized device coordinates and eventually end up as screen coordinates.
Local space
局部空间是指模型创建时参照的坐标空间。想象你在一个建模软件（比如说Blender）中创建了一个立方体，你所创建的立方体现在就位于局部空间中，立方体的中心可能就在局部空间的原点，也可能有一定偏移（相比于世界空间中的移动，这种偏移通常来说不会太大）。
World space
搭建关卡场景时，如果我们将在局部空间中创建的物体模型导入到程序当中，它们有可能会全挤在原点 (0, 0, 0) 附近，这并不是我们想要的结果。我们想让每一个物体都位于它应该出现的位置上，从而构建出一个有意义的场景。所以我们需要将物体从局部空间转换到世界空间，该变换由模型矩阵实现。如下图所示为立方体应用一个平移操作，使其变换到了世界空间中：
View space
OpenGL 既没有明确定义相机对象，也没有明确定义用于相机转换的特定矩阵。相反，OpenGL 将整个场景（包括摄像机）反向变换为一个空间，其中固定摄像机位于原点（0,0,0）并始终看向 -Z 轴。这个空间称为视图（或观察、眼睛）空间。即就是说摄像机在视图空间中从原点看向 -Z 轴。从世界空间变换到视图空间由视图矩阵实现。
视图空间坐标被定义在右手坐标系系统中，X 轴向右，Y 轴向上，Z 轴朝屏幕外。
Clip space
从视图空间变换到裁剪空间由投影矩阵实现。投影主要包括正射投影和透视投影。
Orthographic Projection
正射投影矩阵定义了一个类似立方体的平截头体，它定义了一个裁剪空间，由宽、高、近(Near)平面和远(Far)平面所指定，在这空间之外的顶点都会被裁剪掉。
立方体在正射视图下观察是这样的：
因为正射投影不会改变每个位置向量齐次坐标的 $w$ 分量，如果 $w$ 分量等于1.0，那么透视除法就不会改变这个坐标的值，正射平截头体直接将平截头体内部的所有坐标映射为了标准化设备坐标。
Perspective Projection
实际生活中近大远小的视觉现象被称之为透视。下面定义了一个四棱锥的平截头体，它由视野(fov)、宽高比、近(Near)平面和远(Far)平面所指定。
立方体在透视视图下观察是这样的：
这种近大远小的效果可使用透视矩阵来完成。这个投影矩阵将给定的平截头体范围映射到裁剪空间，除此之外还修改了每个顶点位置向量齐次坐标的 $w$ 分量，使得离观察者越远的顶点坐标 $w$ 分量越大。被变换到裁剪空间的坐标都会在 $-w$ 到 $w$ 的范围之间（任何大于这个范围的坐标都会被裁剪掉）。在下一步透视除法环节中，顶点坐标的每个分量都会除以它的 $w$ 分量，结果坐标就是处于标准化设备空间中的，距离观察者越远顶点坐标就会越小。这是 $w$ 分量非常重要的另一个原因，它能够帮助我们进行透视投影。
NDC
从裁剪空间变换到 NDC 由透视除法实现。裁剪坐标变换到归一化设备坐标中 XYZ 映射到 [-1, 1] 之间。
OpenGL NDC
注意 OpenGL 的 NDC 使用左手坐标系统，其原点位于空间中心，X 轴向右，Y 轴向上，Z 轴朝屏幕内。Vulkan 的 NDC 坐标系默认是右手坐标系，其原点位于屏幕正中间，X 轴向右，Y 轴向下，Z 轴朝屏幕内。摄像机在 NDC 中看向 +Z 轴。
Screen space
从 NDC 变换到屏幕空间是由视口变换来实现的。
Transformation
Forword
我们的顶点坐标起始于局部空间(Local Space)，在这里它被称为局部坐标(Local Coordinate)，它在之后会变为世界坐标(World Coordinate)，观察坐标(View Coordinate)，裁剪坐标(Clip Coordinate)，标准化设备坐标(NDC)，并最后以屏幕坐标(Screen Coordinate)的形式结束。
假设已知投影矩阵 $\mathbf{M_{\mathit{projection}}}$、视图矩阵 $\mathbf{M_{\mathit{view}}}$、模型矩阵 $\mathbf{M_{\mathit{model}}}$ 和局部空间坐标 $\mathbf{V_{\mathit{local}}}$，一个顶点坐标将会根据以下过程被变换到裁剪坐标：
\[\mathbf{V}_{clip} = \mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view} \mathbf{M}_{model} \mathbf{V}_{local}\]注意矩阵运算不满足交换律，$\mathbf{V_{\mathit{local}}}$ 应依次和 $\mathbf{M_{\mathit{model}}}$、$\mathbf{M_{\mathit{view}}}$、$\mathbf{M_{\mathit{projection}}}$ 相乘。顶点着色器要求输出的所有顶点位置向量都是裁剪空间坐标，应该被赋值到顶点着色器中的 gl_Position。OpenGL将会自动进行裁剪、透视除法和视口变换，执行透视除法操作后裁剪坐标变为标准化设备坐标，再执行视口变换操作后标准化设备坐标变为屏幕坐标。
Backword
从 NDC 坐标转换为摄像机空间坐标
因为齐次坐标在 $w$ 分量为 1.0 时，反映的是笛卡尔坐标位置。假设当 $w_{view}=1.0$ 时顶点在摄像机空间的坐标为 $\mathbf{V_{\mathit{view}}}=(x_{view}, \ y_{view}, \ z_{view}, \ w_{view})$。对应的在裁剪空间和 NDC 中的坐标分别为 $\mathbf{V_{\mathit{clip}}}=(x_{clip}, \ y_{clip}, \ z_{clip}, \ w_{clip})$ 和 $\mathbf{V_{\mathit{ndc}}}=(x_{ndc}, \ y_{ndc}, \ z_{ndc}, \ w_{ndc})$。摄像机空间坐标与 NDC 坐标关系为：
\[\mathbf{V}_{ndc} = \frac{\mathbf{V}_{clip}}{w_{clip}} \tag{1}\] \[\mathbf{V}_{clip} = \mathbf{M}_{projection} \mathbf{V}_{view} \tag{2}\]由式 (1) 可得 $\mathbf{V_{\mathit{clip}}}$：
\[\mathbf{V}_{clip} = w_{clip} \mathbf{V}_{ndc} \tag{3}\]由式 (2) 可得 $\mathbf{V_{\mathit{view}}}$：
\[\mathbf{V}_{view} = \mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{clip} \tag{4}\]将式 (3) 代入式 (4) 可得：
\[\mathbf{V}_{view} = \mathbf{M}_{projection}^{-1} (w_{clip} \mathbf{V}_{ndc}) \tag{5}\]将 $w_{clip}$ 移到矩阵乘的前面：
\[\mathbf{V}_{view} = w_{clip} \mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc} = w_{clip} \begin{pmatrix} x_{_{\mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} \\ \\ y_{_{\mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} \\ \\ z_{_{\mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} \\ \\ w_{_{\mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} \end{pmatrix} \tag{6}\]式 (6) 中只有 $w_{clip}$ 是未知的，$\mathbf{M_{\mathit{projection}}}$ 是从程序端传入着色器当中的投影变换矩阵，$\mathbf{V_{\mathit{ndc}}}$ 是待转换到摄像机空间的标准化设备坐标，$\mathbf{M_{\mathit{projection}}}$ 和 $\mathbf{V_{\mathit{ndc}}}$ 均是已知的。所以接下来让我们来求取 $w_{clip}$，这里对于式 (6) 我们可以只观察其中的 $w$ 分量：
\[w_{view} = w_{clip} \times w_{_{\mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} \tag{7}\]因为我们在开头假设了 $w_{view}=1.0$，所以由式 (7) 有：
\[w_{clip} \times w_{_{\mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} = 1.0 \tag{8}\]进而求得 $w_{clip}$：
\[w_{clip} = \frac{1.0}{w_{_{\mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}}} \tag{9}\]将式 (9) 代入式 (6)，最终可求得 $\mathbf{V_{\mathit{view}}}$：
\[\mathbf{V}_{view} = \frac{1.0}{w_{_{\mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}}} \mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc} = \frac{\mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}{w_{_{\mathbf{M}_{projection}^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}}} \tag{10}\]done.
从 NDC 坐标转换为世界空间坐标
和上面类似，假设当 $w_{world}=1.0$ 时顶点在世界空间的坐标为 $\mathbf{V_{\mathit{world}}}=(x_{world}, \ y_{world}, \ z_{world}, \ w_{world})$。对应的在裁剪空间和 NDC 中的坐标分别为 $\mathbf{V_{\mathit{clip}}}=(x_{clip}, \ y_{clip}, \ z_{clip}, \ w_{clip})$ 和 $\mathbf{V_{\mathit{ndc}}}=(x_{ndc}, \ y_{ndc}, \ z_{ndc}, \ w_{ndc})$。世界空间坐标与 NDC 坐标关系为：
\[\mathbf{V}_{ndc} = \frac{\mathbf{V}_{clip}}{w_{clip}} \tag{1}\] \[\mathbf{V}_{clip} = \mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view} \mathbf{V}_{world} \tag{2}\]由式 (1) 可得 $\mathbf{V_{\mathit{clip}}}$：
\[\mathbf{V}_{clip} = w_{clip} \mathbf{V}_{ndc} \tag{3}\]由式 (2) 可得 $\mathbf{V_{\mathit{world}}}$：
\[\mathbf{V}_{world} = (\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{clip} \tag{4}\]将式 (3) 代入式 (4) 可得：
\[\mathbf{V}_{world} = (\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} (w_{clip} \mathbf{V}_{ndc}) \tag{5}\]将 $w_{clip}$ 移到矩阵乘的前面：
\[\mathbf{V}_{world} = w_{clip} (\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc} = w_{clip} \begin{pmatrix} x_{_{(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} \\ \\ y_{_{(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} \\ \\ z_{_{(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} \\ \\ w_{_{(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} \end{pmatrix} \tag{6}\]式 (6) 中只有 $w_{clip}$ 是未知的，$\mathbf{M_{\mathit{projection}}}$ 和 $\mathbf{M_{\mathit{view}}}$ 是从程序端传入着色器当中的投影变换矩阵和视图矩阵，$\mathbf{V_{\mathit{ndc}}}$ 是待转换到世界空间的标准化设备坐标，它们均是已知的。所以接下来让我们来求取 $w_{clip}$，这里对于式 (6) 我们可以只观察其中的 $w$ 分量：
\[w_{world} = w_{clip} \times w_{_{(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} \tag{7}\]因为我们在开头假设了 $w_{world}=1.0$，所以由式 (7) 有：
\[w_{clip} \times w_{_{(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}} = 1.0 \tag{8}\]进而求得 $w_{clip}$：
\[w_{clip} = \frac{1.0}{w_{_{(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}}} \tag{9}\]将式 (9) 代入式 (6)，最终可求得 $\mathbf{V_{\mathit{world}}}$：
\[\mathbf{V}_{world} = \frac{1.0}{w_{_{(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}}}(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc} = \frac{(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}{w_{_{(\mathbf{M}_{projection} \mathbf{M}_{view})^{-1} \mathbf{V}_{ndc}}}} \tag{10}\]done.
Homogeneous coordinates
三维笛卡尔坐标位置可以通过三维向量与 3x3 矩阵的乘法操作，来完成缩放和旋转的线性变换。但是平移操作是无法通过与 3x3 矩阵的乘法操作来完成的，因为线性变换总是将 (0, 0, 0) 映射到 (0, 0, 0)。一个可选的处理方式是进行一个额外的仿射变换(affine transformation)操作，将点 (0, 0, 0) 移动到另一个位置。但是加入这个额外的操作后意味着我们将无法再运用线性变换的各种特性，如将多个变换过程合并为一次变换。因此，我们需要找到一种方法，通过使用线性变换来表达平移过程。幸运的是，只要将三维空间坐标提升一个维度置入到四维空间当中，仿射变换就回归成为一种简单的线性变换了，也就是说我们可以直接使用 4x4 矩阵的乘法来完成模型的移动操作了。
举例来说，假设位置向量第四个分量为 1.0，将位置沿 y 轴移动 0.3，则有：
\[\begin{bmatrix} 1.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0 \\ 0.0 & 1.0 & 0.0 & 0.3 \\ 0.0 & 0.0 & 1.0 & 0.0 \\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 1.0 \\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1.0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y + 0.3 \\ z \\ 1.0 \\ \end{pmatrix}\]所谓齐次坐标就是将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来表示。对于三维的笛卡尔坐标点我们可以直接添加第四个分量（通常以符号 $w$ 标识），并设置值为 1.0 来实现齐次坐标的建立。
\[(2.0, \ 3.0, \ 5.0) \ \to \ (2.0, \ 3.0, \ 5.0, \ 1.0)\]当我们获得齐次坐标后，可以使用第四个分量除以所有的分量，并将其舍弃，以重新得到笛卡尔坐标。
\[(4.0, \ 6.0, \ 10.0, \ 2.0) \ \overset{\mathsf{divide \ by} \ w}{\longrightarrow} \ (2.0, \ 3.0, \ 5.0, \ 1.0) \overset{\mathsf{drop} \ w}{\longrightarrow} \ (2.0, \ 3.0, \ 5.0)\]齐次坐标的第四个分量其实是用来实现透视投影变换的，并且如果所有的分量都除以一个相同的值，那么将不会改变它所表达的坐标位置。
举例来说，以下所有的齐次坐标都表示同一个三维笛卡尔坐标点：(2.0, 3.0, 5.0, 1.0)、(4.0, 6.0, 10.0, 2.0)、(0.2, 0.3, 0.5, 0.1)。
平移、旋转、缩放变换都不会改变 $w$ 的值。正射投影也不会改变 $w$ 的值，但透视投影变换会将 $w$ 分量修改为 1.0 以外的值。